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Journées équations aux dérivées partielles

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Nalini Anantharaman; Matthieu Léautaud
Some decay properties for the damped wave equation on the torus
(Quelques propriétés de décroissance pour l’équation des ondes amorties sur le tore)
Journées équations aux dérivées partielles (2012), Exp. No. 6, 21 p., doi: 10.5802/jedp.89
Article PDF
Class. Math.: 35A21, 35L05, 35P20, 35B35, 35S05, 93C20
Mots clés: Equation des ondes amorties, décroissance polynomiale, observabilité, groupe de Schrödinger, tore, mesures semiclassiques deux-microlocales, spectre de l’opérateur des ondes amorties.

Résumé - Abstract

Cet article est la version courte d’un travail en cours [1], et a fait l’objet d’un exposé du second auteur au cours des Journées “Équations aux Dérivées Partielles” (Biarritz, 2012).

On s’intéresse aux taux de décroissance de l’énergie pour l’équation des ondes amorties dans des situations où le coefficient d’amortissement $b$ ne satisfait pas la condition de contrôle géométrique. On donne tout d’abord un lien avec la contrôlabilité de l’équation de Schrödinger associée. On montre que l’observabilité du groupe de Schrödinger implique la décroissance à taux $1/\sqrt{t}$ du semigroupe des ondes amorties (taux meilleur que le taux logarithmique a priori fourni par le théorème de Lebeau).

Dans un second temps, on se focalise sur le tore 2-D. Toujours en supposant que le contrôle géométrique n’est pas réalisé, on montre que le semigroupe décroît au mieux à taux $1/t$. Réciproquement, pour des coefficients d’amortissements $b$ réguliers, on prouve la décroissance à taux $1/t^{1-\varepsilon }$, pour tout $\varepsilon >0$.

Dans le cas où le le coefficient d’amortissement est la fonction caractéristique d’une bande (donc discontinu), on effectue des simulations numériques qui semblent exhiber un taux de décroissance strictement pire que $1/t$.

En particulier, notre étude tend à montrer que le taux de décroissance dépend fortement du taux d’annulation de $b$.

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