Centre de diffusion de revues académiques mathématiques

 
 
 
 

Journées équations aux dérivées partielles

Table des matières de ce volume | Article précédent | Article suivant
Sylvie Benzoni-Gavage; Pascal Noble; L. Miguel Rodrigues
Stability of periodic waves in Hamiltonian PDEs
(Stabilité d’ondes périodiques dans des EDP hamiltonniennes)
Journées équations aux dérivées partielles (2013), Exp. No. 2, 22 p., doi: 10.5802/jedp.98
Article PDF
Class. Math.: 35B10, 35B35, 35Q35, 35Q51, 35Q53, 37K05, 37K45
Mots clés: onde progressive périodique, stabilité variationnelle, stabilité spectrale, stabilité modulationnelle

Résumé - Abstract

Les équations aux dérivées partielles munies d’une structure hamiltonnienne sont connues pour admettre des familles entières d’ondes progressives périodiques. C’est le cas pour l’équation de Korteweg–de Vries et de nombreux autres modèles plus ou moins classiques. L’étude de la stabilité de ces ondes en est cependant encore à ses balbutiements. Plusieurs approches sont possibles. L’une d’elles est bien sûr l’analyse spectrale des équations linéarisées. Toutefois, le lien avec la stabilité non-linéaire, et en fait la stabilité orbitale puisque ce sont des problèmes invariants par translation, est loin d’être clair. Car on ne peut espérer qu’une stabilité spectrale neutre, étant donné que la structure hamiltonnienne exclut l’existence d’un trou spectral, et ce même en faisant abstraction de la valeur propre nulle, liée à l’invariance par translation. D’autres méthodes pour étudier la stabilité des ondes progressives périodiques consistent à tirer parti de la structure sous-jacente. C’est naturellement le cas de l’approche variationnelle. Celle-ci consiste à utiliser le hamiltonnien, ou plus précisément une fonctionnelle modifiée pour tenir compte des autres quantités conservées, comme fonction de Lyapunov. Lorsqu’elle s’applique, cette méthode est très efficace et donne directement accès à la stabilité orbitale. Une troisième voie est la théorie de la modulation, dont les fondements ont été posés par Whitham à l’orée des années 1970. L’objectif est ici de présenter quelques résultats récents, valant pour des équations et systèmes du type de l’équation Korteweg–de Vries, qui mettent en relation les approches spectrale, variationnelle et modulationnelle.

Bibliographie

[1] T. B. Benjamin. The stability of solitary waves. Proc. Roy. Soc. (London) Ser. A, 328:153–183, 1972.  MR 338584
[2] T. B. Benjamin. Impulse, flow force and variational principles. IMA J. Appl. Math., 32(1-3):3–68, 1984.  MR 740456 |  Zbl 0584.76001
[3] T. B. Benjamin and J. E. Feir. Disintegration of wave trains on deep water .1. Theory. Journal of Fluid Mechanics, 27(3):417–&, 1967.  Zbl 0144.47101
[4] S. Benzoni Gavage. Planar traveling waves in capillary fluids. Differential Integral Equations, 26(3-4):433Ð478, 2013.  MR 3059170 |  Zbl pre06221257
[5] S. Benzoni-Gavage, P. Noble, and L. M. Rodrigues. Slow modulations of periodic waves in Hamiltonian PDEs, with application to capillary fluids. March 2013.  MR 3228473
[6] S. Benzoni-Gavage and L. M. Rodrigues. Co-periodic stability of periodic waves in some Hamiltonian PDEs. In preparation.
[7] J. L. Bona and R. L. Sachs. Global existence of smooth solutions and stability of solitary waves for a generalized Boussinesq equation. Comm. Math. Phys., 118(1):15–29, 1988.  MR 954673 |  Zbl 0654.35018
[8] J. L. Bona, P. E. Souganidis, and W. A. Strauss. Stability and instability of solitary waves of Korteweg-de Vries type. Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 411(1841):395–412, 1987.  MR 897729 |  Zbl 0648.76005
[9] J. Boussinesq. Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond. J. Math. Pures Appl., 17(2):55–108, 1872.  JFM 04.0493.04
[10] J. C. Bronski and M. A. Johnson. The modulational instability for a generalized Korteweg-de Vries equation. Arch. Ration. Mech. Anal., 197(2):357–400, 2010.  MR 2660515 |  Zbl 1221.35325
[11] B. Deconinck and T. Kapitula. On the orbital (in)stability of spatially periodic stationary solutions of generalized Korteweg-de Vries equations. 2010.
[12] R. A. Gardner. On the structure of the spectra of periodic travelling waves. J. Math. Pures Appl. (9), 72(5):415–439, 1993.  MR 1239098 |  Zbl 0831.35077
[13] M. Grillakis, J. Shatah, and W. Strauss. Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I. J. Funct. Anal., 74(1):160–197, 1987.  MR 901236 |  Zbl 0656.35122
[14] Mathew A. Johnson. Nonlinear stability of periodic traveling wave solutions of the generalized Korteweg-de Vries equation. SIAM J. Math. Anal., 41(5):1921–1947, 2009.  MR 2564200 |  Zbl 1200.35261
[15] R. Kollár and P. D. Miller. Graphical Krein signature theory and Evans-Krein functions. 2012.  Zbl pre06282042
[16] M. Oh and K. Zumbrun. Stability and asymptotic behavior of periodic traveling wave solutions of viscous conservation laws in several dimensions. Arch. Ration. Mech. Anal., 196(1):1–20, 2010.  MR 2601067 |  Zbl 1197.35075
[17] R.L. Pego and M.I. Weinstein. Eigenvalues, and instabilities of solitary waves. Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 340(1656):47–94, 1992.  MR 1177566 |  Zbl 0776.35065
[18] A. Pogan, A. Scheel, and K. Zumbrun. Quasi-gradient systems, modulational dichotomies, and stability of spatially periodic patterns. Diff. Int. Eqns., 26:383–432, 2013.  MR 3059169 |  Zbl pre06221256
[19] D. Serre. Spectral stability of periodic solutions of viscous conservation laws: large wavelength analysis. Comm. Partial Differential Equations, 30(1-3):259–282, 2005.  MR 2131054 |  Zbl 1131.35046
[20] Gerald Teschl. Ordinary differential equations and dynamical systems, volume 140 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2012.  MR 2961944 |  Zbl 1263.34002
Copyright Cellule MathDoc 2018 | Crédit | Plan du site