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Journées équations aux dérivées partielles

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Anne-Sophie de Suzzoni
On the persistence of decorrelation in the theory of wave turbulence
(À propos de la persitance des décorrélations dans la théorie de la wave turbulence)
Journées équations aux dérivées partielles (2013), Exp. No. 3, 15 p., doi: 10.5802/jedp.99
Article PDF
Class. Math.: 35Q35, 35Q53
Mots clés: Turbulence, équilibre statistique, variable initiale aléatoire

Résumé - Abstract

On étudie les propriétés statistiques des solutions des équations de Kadomstev-Petviashvili (KP-I et KP-II) sur le tore lorsque la condition initiale est une variable aléatoire. On se donne une variable aléatoire $u_0$ à valeurs dans un espace de Sobolev de régularité suffisamment importante telle que ses coefficients de Fourier soient indépendants. On suppose également que les lois de ces coefficients sont invariantes par multiplication par $e^{i\theta }$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$. On s’intéresse alors à la persistance des décorrélations des coefficients de Fourier $(u_n(t))_n$ des solutions de KP-I et KP-II ayant pour condition initiale $u_0$ au sens où l’on estime l’espérance $E(u_n \overline{u_m})$ en fonction du temps et de la taille $\varepsilon $ de la donnée initiale. Ces estimées sont sensibles à la présence ou l’absence de résonance au sein des interactions à trois ondes, c’est-à-dire, en notant $\omega _k$ la relation de dispersion de KP-I ou KP-II, à si $\omega _k+\omega _l-\omega _{k+l}$ s’anulle (modèle résonnant, KP-I) ou non (modèle non résonnant, KP-II). Dand le cas de l’équation résonante, les espérances $E(u_n \overline{u_m})$ restent petites jusqu’aux temps d’ordres $o(\varepsilon ^{-1})$ alors que dans le cas de l’équation non-résonante, elles le restent jusqu’aux temps d’ordre $o(\varepsilon ^{-5/3})$. Les techniques sont différentes en fonction du cas considéré, on utilise le lemme de Gronwall et des estimées de large déviation gaussiennes dans le cas résonant, et la structure de forme normale de KP-II dans l’autre.

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