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Journées équations aux dérivées partielles

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Diogo Arsénio; Emmanuel Dormy; Christophe Lacave
The vortex method for 2D ideal flows in the exterior of a disk
Journées équations aux dérivées partielles (2014), Exp. No. 5, 22 p., doi: 10.5802/jedp.108
Article PDF
Class. Math.: 35Q31, 35Q35, 76B47
Mots clés: équations d’Euler, problème elliptique dans des domaines extérieurs, transformée de Hilbert et transformée de Hilbert discrète

Résumé - Abstract

La méthode des vortex est une approche théorique et numérique couramment utilisée afin d’implémenter le mouvement d’un fluide parfait, dans laquelle le tourbillon est approché par une somme de points vortex, de sorte que les équations d’Euler se réécrivent comme un système d’équations différentielles ordinaires. Une telle méthode est rigoureusement justifiée dans le plan complet, grâce aux formules explicites de Biot et Savart. Dans un domaine extérieur, nous remplaçons également le bord imperméable par une collection de points vortex, générant une circulation autour de l’obstacle. La densité de ces points est choisie de sorte que le flot demeure tangent au bord sur certains points intermédiaires aux paires de tourbillons adjacents sur le bord. Dans ce travail, nous proposons une justification rigoureuse de cette méthode dans des domaines extérieurs. L’une des principales difficultés mathématiques étant que le noyau de Biot-Savart définit un opérateur intégral singulier lorsqu’il est restreint à une courbe. Par souci de simplicité et de clarté, nous traitons seulement le cas du disque unité dans le plan, approché par un maillage de points uniformément répartis. La version complète et générale de notre travail est disponible en [1].

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